해석학의 기초에 열린 / 닫힌 집합이라는 개념이 있다 (open / closed sets).

이것들은 우리가 ‘굳이 말로 할 필요가 없을 정도로’ 자연스럽게 느끼는 것들 (?) 을 수학의 절대적 깐깐함으로 정의하기 위해 탄생한 것 같다.

열린 집합 Open Set

먼저 열린 집합의 개념은 ‘살짝 숨쉴 공간이 있는가’로 정의된다 (wiggle room). 즉, 그 집합 안의 모든 원소가, 좌우로 조금이라도 더 움직이고도 아직 그 집합에 속해있게 된다면, 열린 집합이 된다.

예를 들면, 각 경계값을 포함하지 않는 실수 구간 \((0,1)\) 의 경우를 생각해보자. 간단한 예를 들어, 중간값인 \(0.5\)를 생각해보면, \(0.5\)는 양과 음의 방향 모두로 해당 구간을 벗어나지 않으면서도 충분히 움직일 수 있다. 예를들면 \(0.4\)~\(0.6\) 으로 숨쉴 공간이 있다 (wiggle 가능하다). 여기서 우리는 열림을 정의하는 데 중요한 것은 어떤 경계선에 가까운 값들이라는 것을 알 수 있다. 해당 구간은 \(0\)과 \(1\) 을 포함하지 않으므로, \(0\)에 아무리 가까운 어떤 실수를 잡더라도, 그 숫자와 \(0\) 사이에는 항상 공간이 있음을 알 수 있다. 간단한 예시로, \(0\)에 엄청나게 가까운 숫자를 \(x\)라고 했을때 (물론 \(x\in(0,1)\)), 우리는 언제나 \((0 + x)/2\)를 할 수 있고, 이 결과값 또한 해당 구간에 속하게 된다. 비슷한 논리로 상단경계값도 숨쉴 공간이 나오기 떄문에, 실수 구간 \((0,1)\)은 열린 집합이라고 할 수 있다.

열린집합이 아닌 경우는 이제 간단하게 찾을 수 있을 것이다. 예를들어 경계값을 포함하는 구간이라고 하면, 즉 \([0,1]\)을 생각해보면, 중간값 \(0.5\)는 여전히 숨쉴 공간을 갖지만, 각 경계값인 \(0\)과 \(1\)은, \(0\)의 경우 음의 방향으로는 움직일 수 없고, \(1\)의 경우 양의 방향으로 움직일 수 없게 되어 숨쉴공간이 나오지 않으므로 열린 집합이 되지 않는다.

여기서 한 가지 중요한 것은, ‘열린 집합이 아니다’와 ‘닫힌 집합’은 다른 구조임을 알고가자.

이 ‘숨쉴 공간’ 열린 집합의 개념을 수학적으로는 이렇게 표현할 수 있다:

\( U \subset \mathbb{R} \)인 \(U\)가 열린 집합이기 위해서는, \( U \)의 모든 원소에 대하여 다음을 만족하는 \( \epsilon \) 이 존재해야한다:

$$ (x-\epsilon, x+\epsilon) \subset U. $$

닫힌 집합 Closed Set

다음으로 닫힌 집합의 개념을 살펴보자. 닫힌 집합은 해당 집합 안의 모든 수렴가능한 수열의 극한값이 역시 그 집합에 속해있으면 닫힌 집합이 된다.

다시 아까의 예, \((0,1)\)을 수열 \(x_n = 1/n\)와 함께 살펴보자.　해당 수열는 \(x_1=1\) 이 되고, 우리가 관심있는 집합은 1을 포함하지 않으므로 이 수열는 해당 집합의 ‘닫힘 여부’와 무관하다.

다음으로 수열 \(x_n = 1/(n+1)\)을 살펴보자. 이 수열는 \(1/2, 1/3, 1/4, ..... \)이렇게 진행되어 그 모든 원소가 구간 \((0,1)\)에 포함되지만, 극한값인 0은 포함되지 않는다. 그러므로 이는 닫힌 집합의 반례가 되어, \((0,1)\)은 ‘닫힌 집합이 아니’게 된다.

닫힌 집합의 예는 \([0,1]\) 같은게 있을 수 있다. 이는 해당 구간안에서 ‘수렴가능한 모든 수열는 그 극한값 또한 그 구간에 포함’되기 때문이다.

마무리

앞서 잠시 이야기했듯, 닫힌 집합과 열린 집함은 안타깝게도 (?) 서로 반대되는 개념이 아니다. 열리지 않았다고 닫힌 것은 아니다! 간단한 예로는 \((0,1]\) 가 있을 수 있다.

이제 한발짝 뒤로 떨어져서 생각해보면, 이것들은 어떤 공간(space)의 구조, 혹은 공간의 중요한 수학적 특성을 정의하는 작업인 것 같다.

뒤뤼쉴레 함수 (Dirichlet func.)를 공부하다가 Dense Set 을 공부하다가 열린 / 닫힌 의 개념을 공부하고 있다. 지금 보면 열린 / 닫힌 집합은 해석학에서 자주 쓰이는 개념이긴 하지만, 그 고향은 topology 위상수학인가보다.

다음은 dense set 에 대해 정리해봐야겠다.

참고