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인공지능이 세상을 뒤덮고 있다. 아인슈타인이 양자 얽힘을 보고 했다던 말, ‘spooky action at a distance’가 떠오른다. 눈 앞에 벌어지고 있는 일이 이해가 가지 않는 것이다. 그래서 그는 아마 우리가 모르는 ‘hidden variable’이 있을 것이고, 얽힌 양자의 스핀 값은 처음부터 정해져 있었지만 우리가 몰랐을 뿐이라고 그렇게 현실을 그의 인지에 끼어맞추기로 했다. 그치만 얼마 후 벨은 아인슈타인이 굳게 믿었던 실재론과 국소성은 동시에 존재할 수는 없다는 것을 증명했다. 비슷한 맥락에서, ‘다음에 오는 말을 예측한다’는 단순한 원리로 작동하는 LLM이 현재 보여주는 그 놀라운 능력을, 다음에 오는 말을 예측하는 방법으로 수학적 난제를 풀어낸다는 것을, 나의 인지 체계는 납득을 하지 못하는 것 같다. 이 현상을 설명하려면, 우리의 논리 체계나 추론 능력등은 사실 그냥 ‘다음에 오는 말을’ 겁나게 잘 예측하는 것에 불과한 것인가? 다음에 오는 단어를 겁나게 잘 예측하면, 우리는 수학적 난제들도 띡!하고 풀어낼 수 있는 거다! ...

해석학의 기초에 열린 / 닫힌 집합이라는 개념이 있다 (open / closed sets). 이것들은 우리가 ‘굳이 말로 할 필요가 없을 정도로’ 자연스럽게 느끼는 것들 (?) 을 수학의 절대적 깐깐함으로 정의하기 위해 탄생한 것 같다. 열린 집합 Open Set 먼저 열린 집합의 개념은 ‘살짝 숨쉴 공간이 있는가’로 정의된다 (wiggle room). 즉, 그 집합 안의 모든 원소가, 좌우로 조금이라도 더 움직이고도 아직 그 집합에 속해있게 된다면, 열린 집합이 된다. 예를 들면, 각 경계값을 포함하지 않는 실수 구간 \((0,1)\) 의 경우를 생각해보자. 간단한 예를 들어, 중간값인 \(0.5\)를 생각해보면, \(0.5\)는 양과 음의 방향 모두로 해당 구간을 벗어나지 않으면서도 충분히 움직일 수 있다. 예를들면 \(0.4\)~\(0.6\) 으로 숨쉴 공간이 있다 (wiggle 가능하다). 여기서 우리는 열림을 정의하는 데 중요한 것은 어떤 경계선에 가까운 값들이라는 것을 알 수 있다. 해당 구간은 \(0\)과 \(1\) 을 포함하지 않으므로, \(0\)에 아무리 가까운 어떤 실수를 잡더라도, 그 숫자와 \(0\) 사이에는 항상 공간이 있음을 알 수 있다. 간단한 예시로, \(0\)에 엄청나게 가까운 숫자를 \(x\)라고 했을때 (물론 \(x\in(0,1)\)), 우리는 언제나 \((0 + x)/2\)를 할 수 있고, 이 결과값 또한 해당 구간에 속하게 된다. 비슷한 논리로 상단경계값도 숨쉴 공간이 나오기 떄문에, 실수 구간 \((0,1)\)은 열린 집합이라고 할 수 있다. ...

휴고로 이사왔따! 옛날 글들 가져와서, 이전에 얘기한 Nextjs 같은건 해당 되지 않지만, 왓에버! 최고의 블로거가 되야지 :D