Maths

해석학의 기초에 열린 / 닫힌 집합이라는 개념이 있다 (open / closed sets). 이것들은 우리가 ‘굳이 말로 할 필요가 없을 정도로’ 자연스럽게 느끼는 것들 (?) 을 수학의 절대적 깐깐함으로 정의하기 위해 탄생한 것 같다. 열린 집합 Open Set 먼저 열린 집합의 개념은 ‘살짝 숨쉴 공간이 있는가’로 정의된다 (wiggle room). 즉, 그 집합 안의 모든 원소가, 좌우로 조금이라도 더 움직이고도 아직 그 집합에 속해있게 된다면, 열린 집합이 된다. 예를 들면, 각 경계값을 포함하지 않는 실수 구간 \((0,1)\) 의 경우를 생각해보자. 간단한 예를 들어, 중간값인 \(0.5\)를 생각해보면, \(0.5\)는 양과 음의 방향 모두로 해당 구간을 벗어나지 않으면서도 충분히 움직일 수 있다. 예를들면 \(0.4\)~\(0.6\) 으로 숨쉴 공간이 있다 (wiggle 가능하다). 여기서 우리는 열림을 정의하는 데 중요한 것은 어떤 경계선에 가까운 값들이라는 것을 알 수 있다. 해당 구간은 \(0\)과 \(1\) 을 포함하지 않으므로, \(0\)에 아무리 가까운 어떤 실수를 잡더라도, 그 숫자와 \(0\) 사이에는 항상 공간이 있음을 알 수 있다. 간단한 예시로, \(0\)에 엄청나게 가까운 숫자를 \(x\)라고 했을때 (물론 \(x\in(0,1)\)), 우리는 언제나 \((0 + x)/2\)를 할 수 있고, 이 결과값 또한 해당 구간에 속하게 된다. 비슷한 논리로 상단경계값도 숨쉴 공간이 나오기 떄문에, 실수 구간 \((0,1)\)은 열린 집합이라고 할 수 있다. ...